الدالة التربيعية..

الدالة التربيعية هي دالة حدودية من الدرجة الثانية ، ومجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية ح ومداها مجموعة جزئية من مجموعة
الأعداد الحقيقية ح ويتوقف على معاملات الحدود في قاعدة الاقتران :
f ( x ) = a x2 + b x + c حيث
a , b , c أعداد حقيقية ثابتة في قاعدة الاقتران . ونرى في الصفحة مثالين على رسم بيان الدالة التربيعية وانسحابها في اتجاه محور
السينات أو في اتجاه محور الصادات
الدالة التربيعية ( دالة الدرجة الثانية ) .
قاعدتها د(س ) = أس2 + ب س + جـ ,
ح' 0 , س ¹ ح , أ 'أ , ب, جـ
المجال حÉح المدى
تمثل بيانيا : قطع مكافئ محور // ص
رأسه ( - ب/2أ , د ( - ب/2أ )) و نحدد الفتحة و فق أ حيث
1- أ > فتحة القطع نحوÜ0 ص+
[¥ المدى = [ د ( -ب/2أ , Ü
2- أ < فتحة القطع نحو ص-Ü0
Ü , د ( -ب/2أ ) ]¥المدى = ] -
نحدد إشارة الدالة باستخدام المميز :
1- ب2 – 4أجـ > إشارة د (Ü0 س ) نفس إشارة أ ما عدا بين جذري الدالة فتكون إشارتها عكس إشارة أ ( معامل س2 )
إشارة الدالة نفس إشارة معامل سÜ 0 ³2- ب2 – 4 أجـ دائما ما عدا جذر الدالة فإن د ( س ) = 0
مثال :
تمرين 7صـــ172 :
أ‌- د ( س ) = س2- س – 6
الحل :
الدالة تربيعية مجالها ح , تمثل قطع مكافئ لتحديد الإشارة من ق :
ب – 4أجـ = 1- 4 * 1 * 1 – 6 = 25 > 0
س2-س -6 = 0Ü بوضع د ( س ) = 0 \
س = 3 , س= -2 , أ = 1Ü > 0



على خط الأعداد :



حيث الدالة عكس إشارة أ ( معامل س2 ) بين جذري الدالة و نفس إشارة أ خارج الجذرين .
, -2 ]¥ [ ب ] - ¥ [ 3 , ' س " 0 £ د ( س ) \
د ( س ) < ] – 2 , 3 [' س "0
تطبيق :
1- د ( س) = -4 س + س2 + 4
م = ب2 – 4أجـ = 16- 4 * 1 * 4 = 0
أ = 1\ > الدالة لها نفس إشارة أ علىÜ0
ح - }صفر الدالة {'س
نضع د (س ) = 0 س2 – 4س + 4 = 0Ü
س = 2Ü( س – 2 ) ( س – 2 ) = 0 Ü
د ( س )\ > ح - } 2 {' س "0
2- د ( س ) = س2 + س + 1
م = ب2- 4أجـ = 1 – 4 * 1 * 1 = - 3 < د ( س )Ü ليس للدالة جذور في ح Ü0 > 0 ( نفس إشارة أ )
ح حيث أ = 1' س " > 0
تمرين 7صــ172
ب) ( 5- س ) ( س – 1 ) = د ( س )
ب2-4أجـÜللدالة جذران في ح >0 بوضع
س = 1 , س = 5Ü( س – 1 ) ( -س + 5 ) = 0
إشارة أ = - 1 < Ü0




د( س )\ > ] 1 , 5 [' س "0
د ( س ) < , 1 [¥ ] - È [ ¥ ] 5 , ' س "0
عندما س = 1 , س = 5Üد ( س ) = 0
تمارين للطالبات :
1- د ( س ) = 2س2 + 3س + 1
2- د ( س ) = 2س – 6 – س2
3- ( د ( س) = س2 – 6س + 5 ) ارسمي المنحنى وحددي المجال و المدى و حددي الفترات الموجبة و السالبة للدالة ؟
- دالة كثيرة الحدود :
تكتب على الصورة :
- د ( س) = أ س + أ س + 0000 + أ س + أ
ك و هي من الدرجة ن' 0 , ن ¹أ ن
حÉمجالها = ح و مجالها المتعامل = ح و المدى
مجالها = مجال البسط - } أصفار المقام {
مثال :
عيني المجال لكل من :
1- د ( س) = س +1/س-4 الدالة معرفة بشرط
4¹ س Ü 0 ¹س – 4
\ المجال = ح - } 4 { لأن البسط كثيرة حدود
2- د ( س) = س- 2 /س2+ س – 2
مجالها = ح - } 1 , - 2 {
تطبيق :
د ( س ) = 0¹س2+4/ س2+5 الدالة معرفة بشرط س2+ 5
"وهذا محقق ح'س
مجال د ( س ) = ح\



1- إذا كان ن عدد فردي مجال الدالة = ح .
2- إذا كان ن عدد زوجي الدالة معرفة بشرط د ( س) > 0
أمثلة و تطبيقات :
عيني مجال الدوال الجذرية التالية :
1- مجال د = ح لأن ن عدد فرديÜ س Öد ( س ) =
2- د ( 0£ الدالة معرفة بشرط س Ü س Öس) =
المجال = [ 0 ,\ [¥
الدالة معرفة بشرط : 5 – سÜ 5- س Ö3- د ( س ) = 0£
, 5 ]¥ المجال = ] - \ 5 ³ س Ü
9-س2Ö4- د ( س) =
- 3Ü 3 ³ | س | \ 3³ س ³
[ -3 , 3 ] مجال الدالة' س \
س2- 9Ö5- د ( س) =
9£ س2 Ü 0 £الدالة معرفة بشرط س2 – 9
- 3³ 3 أو س £ س Ü 3 £ س \
المجال =\ , - 3 ]¥ ] - È [ ¥[ 3 ,
ح -' س " الدالة معرفة \ ] -3 , 3 [
س2 – 3س + 4Ö6- د ( س ) =
0£الدالة معرفة بشرط : س2- 3س + 4
ن ( س ) إشارة المقدار م = ب2-4أجـ = -7Ü < 0
للمقدار نفس إشارة\ لا توجد جذور في ح \
س2 – 3س + 4\أ على ح > ح' س "0
لأن أ = 1 > :
7- س2 + 5س + 6Öد ( س ) =
الدالة معرفة بشرط : س2 +5س 0 لا£+6
ندرس إشارة ( س2 + 5س + 6 )
م= 1 > نضع س2 + 5س +6 = 0\0
( س +2 ) ( س +3 ) = 0Ü
س = -2 , سÜ = -3 , أ = 1 > 0
< المقدار > 0 المفدار < 0 المقدار > 0
د ( س )\ > [ - 2' س "0 , -2 ]¥ ] - È [ ¥,
ح – 1 ] – 3 , - 2 [' س "
2+ س – س2Ö8- د ( س ) =
مجال = [ - 1 , 2 ] يترك للطالبات
9- د س-1/س-2Ö( س ) =
الدالة معرفة بشرطين :
1£ س Ü 0 £س-1
\ [¥مجال البسط = [ 1 ,
مجالÜ 2 ¹ س Ü 0 ¹2- س- 2 المقام ح - } 2 {
مجال الدالة = مجال البسط - }\ أصفار المقام {
[ - }2{¥= [ 1 ,
8- دالة القياس ( القيمة المطلقة )
صفر£قاعدتها د ( س ) = | س | = } س عندما س
} – س عندما س < 0
مجالها = ح و تمثل بيانيا بالرسم :
د(س ) = | س | د 0\
ح' س " الدالة معرفة \
[¥المدى = [ 0 ,









مثال :
أعيدي تعريف دالة القياس التالية و عيني مجالها و مداها و مثليها بيانيا ؟
د ( س) = | س – 5 |
الحل :
| س – 5 | = } 5£س – 5 عندما س
} – س + 5 عندما س < 5
مجال الدالة = ح
للرسم نكون جدول :
س 3 4 5 6 7
ص 2 1 0 1 2
المدى = [¥[ 0 ,
تطبيق :
أعيدي تعريف الدالة التالية ثم حددي مجالها و مداها ثم ارسمي المنحنى البياني لها .
د ( س) = | س – 5 | + 3
5£الحل : | س – 5 | = } س – 5 عندما س
} – س + 5 عندما س < 5
5£ د ( س ) = } س – 2 عندما س \
} – س + 8 عندما س < 5
المجال = ح
للرسم :
س 3 4 5 6 7
ص 5 4 3 4 5
[¥المدى = [ 3 ,
تمرين للطالبات :
د( س ) = | س + 3 | + | س – 3 | + 2 بيانيا


تطبيق :
د( س ) = | س2 – 4س – 5 | تمرين 1 صــ171
الحل : ندرس إشارة ( س2 – 4س – 5 ) بالمميز
ن = 36 > نوجد الأصفار بوضع\0
( س – 5 ) ( س + 1 ) = 0Üس2 – 4س – 5 = 0
س = 5 , س = - 1 , أ = 1Ü > 0
¥< *5 *-1 >¥-
( ) > 0 ( ) < 0 ( ) > 0
د ( س ) = | س2 – 4س – 5 |\
= } س2-4س – 5 عندما س > 5
5³ س ³} – ( س2-4س-5 ) عندما -1
} س2-4س – 5 عندما س < -1
التمثيل البياني :
مقدار من الدرجة الثانية تحت المقياس يمثل قطع مكافئ محوره // ص و فتحته نحو ص+ لأن أ = 1 > 0 و رأسه ( -ب/2أ ) د (-ب/2أ) )
= ( 2 , 9 ) و يقطع محو س عند ( -1 , 0 ) , ( 5 , 0 )
للرسم نكون جدول :
س - 3 - 2 -1 0 2 3 5 6 7
ص 16 7 0 5 9 8 0 7 16
تمرين 4 صــ172
د ( س ) = } | س2 – 7 س – 8 | عندما س > 8
س – 8
8³} 17- س عندما س







الحل : نعرف المقياس .
أولا : نبحث إشارة ( س2 – 7س – 8 )
س = 8 , س = - 1Üنضع س2 – 7س – 8 = 0
م\ > 0 أ = 1 > Ü0
¥< *8 *-1 >¥-


المقدار > 0 المقدار < 0 المقدار > 0
|س2- 7 س –\ 8 | = } س2- 7س – 8 عندما س > 8
س – 8
8³} 17- س عندما س
= } ( س – 8 ) ( س + 1 ) عندما س > 8
( س – 8 )
8³17- س عندما س
= } س+1 عندما س > 8
8³} 17- س عندما س
للتمثيل نكون جدول
[¥المجال = ح المدى = [ 9 ,
س 10 9 8 7 6
ص 11 10 9 10 11

أهمية الدالة

مكونات الدالة
المجال - المجال المقابل - قاعدة الاقتران

مكونات قاعدة الاقتران الجبرية
اسم الدالة - عنصر من المجال - عنصر من المجال المقابل
مثل
أبو - احمد - هو - د. محمد خالد
او
د ( س ) = س2 + 2 س - 3


ق ( س ) = س + 1 ،